O objetivo desse relatório é demonstrar métodos de geração de números aleatorios de uma distribuição e métodos para aproximação de distribuições.
Aqui será o local para apresentar o material sobre o relatório.
Antes de partirmos para a parte das metodologias, é interessante sabermos a diferença entre amostra e população.
A população de pesquisa é um conjunto completo de elementos que têm um parâmetro comum entre si. É frequentemente usada para descrever a população humana ou o número total de pessoas que vivem em uma área geográfica de um país ou estado.
Uma amostra é a menor parte do total, ou seja, um subconjunto de toda a população, ou seja, um subgrupo que pode ser estudado para investigar as características ou o comportamento dos dados da população.
Como, ja aludido no Relatório 3, existem algumas distribuições que podem ser utilizadas para geração de números aleatórios usando o prefixo r, tais como:
rnorm ()
rbeta ()
rcauchy ()
rchisq ()
rexp ()
rf ()
rgamma ()
rgeom ()
rlnorm ()
rmultinom ()
Além dessas funções já existentes, é possível também criar funções
similares com o comando function, como:
rexponencial <- function(n, lambda) {
if(!is.numeric(lambda) | lambda < 0) stop ("O argumento lambda deve ser númerico
e maior que 0!", call. = FALSE)
nunif <- runif(n)
x <- (-log(1 - nunif)) / lambda
return (x)
}Verificando através da sobreposição dos gráficos:
plot(sort(rexponencial(1000, lambda = 1)))
points(sort(rexp(1000, rate = 1)), col = "red")
Quadraturas gaussianas são quadraturas numéricas de máximo grau de exatidão. Especificamente, quadraturas de Gauss-Legendre são quadraturas gaussianas para integrais da forma
\(\int_{-1}^{1} f(x) dx\)
Sendo assim, a ideia básica consiste em escrever a fórmula geral da quadratura da seguinte forma:
\(\int_{a}^{b}g(x) dx= \int_{a}^{b}w(x)f(x) dx ~ \sum_{k=1}^{s}wk f(xk)\)
Onde o integrando é escrito g(x) ≡ w(x)f(x), sendo que w(x) possa desempenhar a função peso na fórmula gaussiana.
Assim, os processos para resolução são:
Determinar o número de pontos s que devem ser tomados para a resolução da integral, de acordo com o polinômio ps(x);
Determinar os nós (xk) e os pesos (wk) da quadratura, usando uma
função do pacote R, SMR, sendo s os pontos da quadratura,
expressa por:
<center
SMR:::GaussLegendre(s)
Determinar g(xk) = f(xk), ou seja, a função de interesse aplicada nos nós (xk);
Por fim, deve-se calcular:
\(\int_{a}^{b}w(x)f(x) dx ~ \sum_{k=1}^{s}wk f(xk)\)
Quando a função a ser integrada não está entre -1 e 1, para o uso na quadratura Gaussiana, os limites de integração podem ser transformados para [c* ,d*]
A fórmula padrão da mudança de variável do cálulo de integral utilizando a transformação x = g(t) é dada por:
\(\int_{g(c)}^{g(t)} f(x) dx = \int_{c}^{d} f(g(t))|g'(t)|dt\)
O método de Newton-Raphson é um dos métodos mais eficientes para a solução numérica de f(x) = 0. Esse método possui ordem de convergência 2. Ele se baseia em um processo iterativo para encontrar a raiz da função. Sendo assim, sua fórmula básica é dada por:
