Nesse relatório, será abordado sobre as distribuições de proabalidade e como aplicá-las no ambiente R.

Diante do objetivo do relatório, será apresentado nas próximas subseções, os pontos a serem discutidos.

Um experimento que pode gerar diferentes resultados se realizado mais de uma vez sob as mesmas condições é chamado de experimento aleatório. Alguns exemplos desses experimentos são:

• o lançamento de um dado;

• lançamentos consecutivos de uma moeda; e

• a observação da duração do tempo de um dispositivo eletrônico.

O conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral e é representado pela letra grega maiúscula Ω. Em geral usamos a letra grega minúscula ω para representar um resultado específico de um experimento aleatório. Nesse caso podemos escrever ω ∈ Ω.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.

Existem dois tipos de distribuição de probabilidade, contínuas e discretas.

Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional.

A probabilidade de que a variável X assuma um valor específico x é dada por:

Quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc.

As probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um número específico é dada por:

O R inclui algumas operações com as distribuições de probabilidade. Dessa forma, existem 4 operações básicas para cada tipo de distribuição, as quais podem ser indicadas pelas seguintes letras:

• d: calcula a densidade de probabilidade f(x) no ponto;

• p: calcula a função de probabilidade acumulada F(x) no ponto;

• q: calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade;

• r: gera uma amostra aleatória da distribuição.

A distribuição Normal é a mais importante das distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática:

• Representa a distribuição de freqüência de muitos fenômenos naturais;

• Serve como aproximação da distribuição Binomial, quando n é grande;

• As médias e as proporções de grandes amostras segue a distribuição Normal (Teorema do Limite Central).

A funcionalidade para distribuição normal é implementada por argumentos que combinam as letras supracitadas com o termo norm. Por default as funções assumem a distribuição normal padrão \(N(μ =0, σ^2=1)\)

O comando abaixo corresponde ao valor da densidade da normalno ponto 2

dnorm(2)

## [1] 0.05399097

A função pnorm(5) calcula a probabilidade \(P(X \leq 5)\)

pnorm(5)

## [1] 0.9999997

O comando qnorm(0.975) calcula o valor de \(a\) tal que \(P(X \leq a)=0.975\).

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

O Comando rnorm(4) gera uma amostra de 10 elementos da normal padrão.

rnorm(4)

## [1] -0.24472174 -1.28744065 -0.07132493 -0.43326008

As funções relacionadas à distribuição normal possuem os argumentos mean e sd para definir média e desvio padrão da distribuição, os quaos podem ser modificados.

qnorm(0.975, 50, 4)

## [1] 57.83986

É possível ainda realizar a diferença entre probabilidades.

pnorm(100, 100, 10) - pnorm(80, 100, 10)

## [1] 0.4772499

Também conseguimos construir gráficos a partir dessas funções.

Para isso, serão utilizados valores de \(X\) entre -4 e 4 que correspondem a +/- quatro desvios padrões da média.

Gráfico da função densidade acumulada:

plot(dnorm, -4, 4)

Gráfico da função probabilidade acumulada:

plot(pnorm, -4, 4)

A distribuição binomial é adequada para descrever situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias.

As categorias devem ser mutuamente excludentes, de forma que não haja dúvidas na classificação do resultado da variável nas categorias e coletivamente exaustivas, de forma que não seja possível nenhum outro resultado diferente das categorias.

Para a realização de cálculos no R com a distribuição binomial, devemos combinar as letras básicas com o termo binom.

Em uma distribuição discreta de probabilidades os gráficos são diferentes dos obtidos para distribuição normal e os cálculos de probabilidades devem considerar as probabilidades nos pontos.

Gráfico da função densidade Binomial

x <- 0:10
fx <- dbinom(x, 10, 0.35)
plot(x, fx, type='h')

Gráfico da função probabilidade Binomial

x <- 0:10
Fx <- pbinom(x, 10, 0.35)
plot(x, Fx, type='S')

• Uniforme contínua: runif, punif, dunif, qunif;

• Poisson: rpois, …

• Outras distribuições: dbeta, dcauchy, dchisq, dexp, df, dgamma, dgeom, dlnorm, dmultinom, dnbinom, dt, dweibull.